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数域的概念

数域是指数的集合,是近代数学研究的一个重要分支。特别是在数字信号处理,编解码运算中的理论研究和实际工程应用中得到广泛的应用。的数域不仅定义数的集合,还定义了数的运算规则。一般情况下规定了加、减、乘、除四则运算。下文就数域的定义、分类、运算规则及应用等内容进行描述。

1. 数域

数域是由数组成的集合,并在该集合上定义了一套运算规则,如加、减、乘、除(除数不为0)等。常见的有二进制数域,十进制数域等。其中在十进制术语中又有整数域、有理数域、无理数域、实数域、复数域等。数域一般用F表示。可以用枚举方式表示,如二进制数域可以写成F[0, 1],十进制数域可以写成F[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]等。也可以用描述的方式表示,如实数域FR={X|XϵR},一般到数域的元素较多或无穷多而无法用枚举的方式表达时,都用描述的方法表示。

2. 数域运算规则

不同的数域可以定义不同的运算规则,如实数域可以定义加、减、乘、除(除数不为零),开方、求导、积分等运算。一般数域的运算规则至少包含加、减、乘、除(除数不为零)四则运算。

  • 封闭数域

如果F中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是F中的数,则称F为一个封闭数域或闭合数域,简称数域。不是任何定义的数域都是闭合数域,如整数就不是闭合数域,因为两个整数相除可能得到小数值(如3/5)。无理数集合也不是封闭数域,因为两个无理数的运算可能是有理数(如π – π = 0)。在本文及后续文章讨论的数域都是指封闭数域。但有理数、实数等都是闭合数域。

3. 数域的性质

满足四则运算的闭合域,应有下列属性。

  • 在定义的数域中可以实现加、减、乘、除(除数不为0)四则运算;
  • 0,1元素,数域中包含元素0和元素1;
  • 逆元素(反元素),如元素a,则-a,1/a也应该包含在数域中。即应该满足a + (-a) = 0, a *(1/a)=1;
  • 满足加法和乘法运算的交换律,如a + b = b + a, a*b = b*a等。
  • 满足加法和乘法运算的结合律,如 (a + b) + c = a + (b + c);
  • 满足加法和乘法运算的分配律,如a(b + c) = ab + ac;
  • 如果减法和除法用逆元素表示,也满足交换律、结合律以及分配律。

细节: www.ica123.com

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